Vamos iniciar essa discussão definido o que é um grupo de permutações. Seja $X$ um conjunto qualquer. Considere o conjunto $$S_{X}=\{ f: X \longrightarrow X \ | \ f \ \text{é uma bijeção} \}$$ Sem muita dificuldade é possível mostrar que $(S_{X}, \circ)$ é um grupo, onde "$\circ$ " representa a composição usual de funções.
Se $X$ for um conjunto finito de cardinalidade $n$, chamaremos o grupo $S_{X}$ de grupos das permutações de $n$ elementos. Neste caso, denotaremos esse grupo por $S_{n}$. Note que a cardinalidade desse grupo é $n!$.
O seguinte teorema de Cayley, afirma que todo grupo finito é isomorfo a um grupo de permutação. Vamos enunciar e provar esse resultado.
Teorema (Cayley): Todo grupo é isomorfo a um grupo de permutações.
Demonstração: Seja $G$ um grupo finito. Note que para cada elemento $g\in G$ a aplicação $$\varphi_{g}: x\in G \longmapsto gx \in G$$ é uma bijeção. Desse modo, para todo elemento $g\in G$ temos que $\varphi_{g} \in S_{G}$. Considere agora a aplicação
\begin{eqnarray}\label{homo}
\varphi: g\in G \longmapsto \varphi_{g}\in S_{G}
\end{eqnarray}
Vamos mostrar que essa aplicação é um monomorfismo, ou seja, um homomorfismo injetor. Sejam $g_{1}, g_{2}\in G$. Para cada $x\in G$ vale que, $$\varphi_{g_{1}g_{2}}(x)= (g_{1}g_{2})x=g_{1}(g_{2}x)=\varphi_{g_{1}}(\varphi_{g_{2}}(x))=(\varphi_{g_{1}}\circ \varphi_{g_{2}})(x)$$ Assim, $$\varphi(g_{1}g_{2})=\varphi_{g_{1}g_{2}}=\varphi_{g_{1}}\circ\varphi_{g_{2}}=\varphi(g_{1})\varphi(g_{2})$$ Logo, segue que $\varphi$ é um homomorfismo. Resta mostrar que $\varphi$ é injetora. Para isso, provaremos que $Ker(\varphi)=1$. Perceba que
\begin{eqnarray*}
Ker(\varphi)=\{g\in G \ | \ \varphi(g)=id \}&=&\{ g\in G \ | \ \varphi_{g}=id \} \\
&=&\{g\in G \ | \ gx=x, \ \text{para cada} \ x \in G \} \\
&=&\{ 1 \}
\end{eqnarray*}
Portanto, $\varphi$ é injetora. Segue do homomorfismo (\ref{homo}) que $G\lesssim S_{G}$. O que completa a prova do teorema.
Agora estamos em condições de responder a seguinte pergunta: por que é importante estudar os grupos de permutações? A resposta é muito simples, sabemos que existem diferentes estruturas de grupos finitos, mas como todos são isomorfos a um grupo de permutação, então estudando apenas esse último estaremos estudando "todos os grupos finitos".
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