Uma relação $\mathcal{R}$ sobre um conjunto $X \neq \emptyset$ é chamada uma relação de equivalência se $\mathcal{R}$ é:
$(i)$ Reflexiva, isto é, se $x\in X$, então $x\mathcal{R}x$;
$(ii)$ Simétrica, isto é, $x,y\in X$ e $x\mathcal{R}y$, então $y\mathcal{R}x$;
$(iii)$ Transitiva, isto é, $x,y,z\in X$ e $x\mathcal{R}y$, $y\mathcal{R}z$, então $x\mathcal{R}z$.
A relação $\mathcal{R}=\{(a,b)\in \mathbb{R}\times\mathbb{R} \ | \ a=b \}$ é um exemplo de relação de equivalência. Já a relação $\mathcal{R}=\{ (a,b)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \ | \ a \ \text{divide} \ b \}$ não é uma relação de equivalência, pois não vale a simetria.
Dado $x\in X$. Chamaremos o conjunto $$\overline{x}=\{y\in X \ | \ y\mathcal{R}x \}$$ de classe de equivalência. Já o conjunto formado por todas essas classes de equivalências, será chamado de conjunto quociente, o qual denotaremos por $X/\mathcal{R}$.
Considere a seguinte relação de equivalência $$\mathcal{R}=\{ (1,1), (1,2), (2,1),(2,2), (3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5) \}$$ sobre o conjunto $X=\{1,2,3,4,5 \}$. Perceba que, $\overline{1}=\{ 1,2 \}, \ \overline{2}=\{2,1 \}, \ \overline{3}= \{3,4\}, \ \overline{4}=\{4,3\}$ e $\overline{5}=\{5\}$. Note que, $\overline{1}=\overline{2}$ e $\overline{3}=\overline{4}$. Desse modo, o conjunto quociente $X/\mathcal{R}=\{ \overline{1},\overline{3},\overline{5}\}$.
Sem muitas dificuldades é possível provar o seguinte lema.
Lema 1. Sejam $\mathcal{R}$ uma relação de equivalência sobre o conjunto $X$ e $x,y \in X$. São equivalentes:
(a) $x\mathcal{R}y$ (b) $y\in \overline{x}$ (c) $x\in \overline{y}$ (d) $\overline{x}=\overline{y}$
O estudo das relações de equivalência se torna interessante depois que sabemos o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de um conjunto $X$ é qualquer coleção $\mathbb{P}$ de subconjuntos não vazios de $X$ que satisfazem as seguintes propriedades:
$(i)$ Para cada $A,B\in \mathbb{P} \ \Rightarrow \ A=B \ \text{ou} \ A\cap B= \emptyset$
$(ii)$ $X=\bigcup_{A\in \mathbb{P}}A$
Considere o conjunto $A=\{1,2,3, ...., 10 \} $. A seguir, apresentamos uma ilustração de uma partição de $A$
Na relação de equivalência $\mathcal{R}=\{ (1,1), (1,2), (2,1),(2,2), (3,3),(3,4),(4,3),(4,4),(5,5) \}$, tem-se claramente que o conjunto quociente $X/\mathcal{R}=\{ \overline{1},\overline{3},\overline{5}\}$ é uma partição de $X=\{1,2,3,4,5 \}$.
Nesse momento, uma pergunta natural seria: Será que toda relação de equivalência sobre um conjunto, gera uma partição desse conjunto? A resposta é positiva! Provaremos agora esse fato.
Proposição 2: Se $\mathcal{R}$ é uma relação de equivalência sobre um conjunto $X$, então $X/\mathcal{R}$ é uma partição de $X$.
Demonstração: De acordo com a definição de partição de um conjunto, temos que mostrar que:
(1) Se $\overline{x}\in X/\mathcal{R} \ \Rightarrow \ \overline{x}\neq \emptyset$;
(2) Para cada $\overline{x},\overline{y}\in X/\mathcal{R} \ \Rightarrow \ \overline{x}=\overline{y}$ ou $\overline{x}\cap \overline{y}= \emptyset$
(3) $X=\bigcup_{x\in X}\overline{x}$.
Vamos agora provar cada item.
(1) Seja $\overline{x}\in X/\mathcal{R}$. Como $\mathcal{R}$ é reflexiva, então $x\mathcal{R}x$, o que implica em $x\in \overline{x}$ e, assim, $\overline{x}\neq\emptyset$ para todo $\overline{x}\in X/\mathcal{R}$.
(2) Sejam $\overline{x}, \overline{y}\in X/\mathcal{R}$ tais que $\overline{x}\cap\overline{y}\neq \emptyset$. Vamos provar que $\overline{x}=\overline{y}$. Seja $a\in \overline{x}\cap \overline{y}$. Então, $a\in \overline{x}$ e $a\in \overline{y}$, assim, $a\mathcal{R}x$ e $a\mathcal{R}y$. Como a relação $\mathcal{R}$ é simétrica, tem-se que $x\mathcal{R}a$ e $a\mathcal{R}y$. Pela transitividade da relação $\mathcal{R}$, temos que $x\mathcal{R}y$. Segue pelo lema 1 que $\overline{x}=\overline{y}$.
(3) Provaremos agora que $X=\bigcup_{x\in X}\overline{x}$. Seja $x\in X$ qualquer. Uma vez que $\mathcal{R}$ é uma relação de equivalência, então $x\mathcal{R}x$ e, portanto, $x\in \overline{x}$. Consequentemente, $$x\in \bigcup_{x\in X}\overline{x}$$ Logo, $X\subseteq \bigcup_{x\in X}\overline{x}$.
Por outro lado, para cada $x\in X$, tem-se que $\overline{x}\subseteq X$, assim, $\bigcup_{x\in X}\overline{x}\subseteq X$. Portanto, $X=\bigcup_{x\in X}\overline{x}$.
$\Box$
Até aqui, sabemos que toda relação de equivalência sobre um determinado conjunto, acarreta em uma partição desse conjunto. Mas, será que vale a recíproca? Ou seja, Dada uma partição de um conjunto é possível obter uma relação de equivalência sobre esse conjunto? O seguinte resultado responde a nossa pergunta.
Proposição 3. Se $\mathbb{P}$ é uma partição do conjunto $X$, então existe uma relação $\mathcal{R}$ de equivalência sobre $X$ tal que $X/\mathcal{R}=\mathbb{P}$.
Demonstração: Defina a relação $\mathcal{R}$ sobre $X$ como: $x\mathcal{R}y$ se, e somente se, existe $Y\in \mathbb{P}$ de modo que, $x,y\in Y$.
Vamos mostrar que $\mathcal{R}$ é uma relação de equivalência, ou seja, que a relação $\mathcal{R}$ é reflexiva, simétrica e transitiva.
$(i)$ Como $\mathbb{P}$ é uma partição de $X$, então para cada $x\in X$, tem-se que existe $Y\in \mathbb{P}$ tal que, $x\in Y$. Assim, $x\mathcal{R}x$ para todo $x\in X$. Portanto, a relação $\mathcal{R}$ é reflexiva.
$(ii)$ Sejam $x,y\in X$, tais que $x\mathcal{R}y$. Então, por definição da relação $\mathcal{R}$, existe $Y\in \mathbb{P}$ tal que $x,y\in Y$. Logo, $y\mathcal{R}x$ e, portanto, a relação $\mathcal{R}$ é simétrica.
$(iii)$ Sejam $x,y,z\in X$ tais que, $x\mathcal{R}y$ e $y\mathcal{R}z$. Novamente, por definição da relação $\mathcal{R}$ existem $Y_{1}, Y_{2}\in \mathbb{P}$ tais que $x,y\in Y_{1}$ e $y,z\in Y_{2}$. Perceba que, $y\in Y_{1}\cap Y_{2}$. Uma vez que $\mathbb{P}$ é uma partição de $X$, então $Y_{1}=Y_{2}$. Desse modo, $x,z\in Y_{1}$ e, assim, $x\mathcal{R}z$. Portanto, a relação $\mathcal{R}$ é transitiva.
Segue que $\mathcal{R}$ é uma relação de equivalência e, claramente, $X/\mathcal{R}=\mathbb{P}$.
$\Box$
Assim, provamos que dado uma partição de um conjunto qualquer, é possível obter uma relação de equivalência que acarreta nessa partição e vice-versa.
